Integral de tangente

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En esta ocasión dedicaremos esta pagina a la resolución de ejercicios de integrales con la función tangente.

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Integral de tangente

La integral de la tangente es una integral trigonométricas, siendo también una integral inmediata que tiene como resultado el menos logaritmo natural del coseno mas la constante de integración, es decir;

$\int Tg(x) dx= -Ln(Cos(x))+C$

En la medida que estudiamos los integrales de la tangente, nos encontramos algunos de estructura mas complicas, que requieren de la aplicación de algunas razones trigonométricas como:

$Tg(x)=\frac{Sen(x)}{Cos(x)}$

$Tg^{2}(x)=Sec^{2}(x)-1$

$Tg(2x)=\frac{2Tg(x)}{1-Tg^{2}(x)}$

$Ctg(x)=\frac{1}{Tg(x)}$

Te recomendamos revisar la pagina de integrales trigonométricos donde se presentan otras identidades que son importantes conocer para su aplicación.

Dentro de los métodos mas usados en la resolución de integrales de tangente se encuentra el cambio de variable y la integración por parte.

Ejercicios de integrales de tangente

1.- $\int Tg^{3}(x) dx$

Solución

$=\int Tg(x) Tg^{2}(x) dx$

utilizaremos la razón trigonométrica $Tg^{2}(x)=Sec^{2}(x)-1$ ;

$=\int Tg(x) (Sec^{2}(x)-1) dx$

$=\int Tg(x) Sec^{2}(x) dx - \int Tg(x) dx$

para el primer integral aplicamos el método de cambio de variable y el segundo es un integral inmediato;

$u=Tg(x)$

$du=Sec^{2}(x) dx$

$=\int u du - \int Tg(x) dx$

$=\frac{u^{2}}{2} - Ln (Sec(x)) +C$

$=\frac{Tg(x)^{2}}{2} - Ln (Sec(x)) +C$

2.- $\int Tg(5x)$

Solución

aplicamos la identidad de $Tg(x)=\frac{Sen(x)}{Cos(x)}$

$=\int \frac{Sen(5x)}{Cos(5x)}dx$

hacemos un cambio de variable;

$u=Cos(5x)$

$du=5 Sen(5x) dx$

$=\frac{1}{5}\int \frac{du}{u}dx$

$=\frac{1}{5}Ln(u)+C$

$=\frac{1}{5}Ln(Cos(5x))+C$

3.- $\int x.arcTg(x)dx$

Solución

$u=arcTg(x)$

$du=\frac{1}{x^{2}+1}dx$

$dv=x dx$

$v=\frac{x^{2}}{2}$

$=\frac{x^{2}}{2}.arcTg(x)-\int \frac{x^{2}}{2}.\frac{1}{x^{2}+1}dx$

$=\frac{x^{2}}{2}.arcTg(x)-\frac{1}{2}\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx$

a la expresión $x^{2}$ le sumaremos y restaremos el termino independiente del denominador, que para el caso es 1;

$=\frac{x^{2}}{2}.arcTg(x)-\frac{1}{2}\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx$

separamos los integrales;

$=\frac{x^{2}}{2}.arcTg(x)-\frac{1}{2}(\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}dx-\int \frac{1}{x^{2}+1}dx)$

simplificamos;

$=\frac{x^{2}}{2}.arcTg(x)-\frac{1}{2}(\int dx-\int \frac{dx}{x^{2}+1})$

nos quedan dos integrales inmediatas;

$=\frac{x^{2}}{2}.arcTg(x)-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}arctag(x)+C$

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