Métodos de integración

Ante la complejidad de algunos integrales se hace necesario la aplicación de una serie de métodos que facilitan su resolución, muchos ellos consiste en transformar la integral original compleja en una segunda integral mas sencilla.

Contenido

Uno de los procedimientos más practico en la resolución de integrales complejo es la factorización de la función o la aplicación de razones trigonométricas según sea el caso, pero si no se puede aplicar ninguno de estos procedimientos se recomienda utilizar los siguientes métodos:

1.- Método de cambio de variable.

Es llamado también en algunas bibliográficas como método de sustitución, consistiendo en cambiar la variable original del integral propuesto por una nueva variable que sustituirá a una expresión apropiada del integrando.

Es de acotar que la integral esta conformada por la función y el diferencial, la nueva variable será la nueva función y la derivada de esta dará como resultado el diferencial u otro termino que no fue considerado dentro de la nueva variable. Veamos un ejemplo para comprender mejor el método:

si tenemos el integral;

$\int\frac{3x^{2}}{x^{3}+7}dx$

seleccionamos una letra a utilizar como la nueva variable, en nuestro caso seleccionamos la u, tu puedes utilizar cualquiera de tu interés, y esa letra representara una parte de la función a integrar;

$u=x^{3}+7$

para conseguir el nuevo diferencial derivamos u;

$du= 3x^{2}dx$

como podemos ver, la derivada da exactamente la expresión que no fue incluida como parte de u y procedemos a sustituir;

$\int\frac{3x^{2}}{x^{3}+7}dx=\int\frac{du}{u}$

ya hemos transformado el integra racional complejo en una mas sencillo e inmediato;

$=Ln(u)+C$

para concluir, retornamos la expresión a la variable original, para ellos sustituimos u;

$=Ln(x^{3}+7)+C$

Aquí puedes encontrar más ejercicios y una explicación más detallada del método de integración por cambio de variable

2.- Método de integración por partes

Este método permite simplificar el calculo de la integral original estructurada como un producto a partir de la separación de los términos en dos nuevas variables que llamamos (u) y (v) a ser utilizada en la siguiente formula:

$u.v-\int v.du$

Para la aplicación de la formula seleccionamos una parte de la función que llamamos u y otra que llamamos dv, para conseguir du derivamos u; v se consigue con la integración de dv. Aquí te explico con más detalles éste método de integración

Por ejemplo:

$\int x e^{x}dx$

definimos las variables;

u=x y $dv=e^{x}dx$

du lo obtenemos derivando u, y para obtener v integramos dv;

du=dx y $v=e^{x}$

sustituimos en la formula;

$u.v-\int v.du$

$=x.e^{x}- \int e^{x}.dx$

integramos;

$=x.e^{x}- e^{x}+C$

3.- Método de integración por fracciones parciales

El método de integración por fracciones parciales se utiliza en ciertos integrales con funciones racionales o cociente de polinomios como por ejemplo;

$\int\frac{x^{3}+x^{2}+x+8}{x^{2}+2}$

Para la resolución procedemos a la división del polinomio, posteriormente se aplica el algoritmo de la división, finalmente se descompone la fracción en una suma de fracciones sencillas denominada fracciones parciales, de fácil integración.

En términos generales si tenemos un integral $\int\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde el grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x) aplicamos la división;

donde el grado de r(x) es menor al de Q(x) ò r(x)=0

quedando;

P(x)=Q(x).q(x)+r(x)

al dividir entre Q(x) sería;

[\frac{P(x)}{Q(x)=q(x)+\frac{r(x)}{Q(x)\]

$\int\frac{P(x)}{Q(X)}dx=\int q(x)dx+\int \frac{r(x)}{Q(X)}dx$

Te invito a revisar la publicación de integración por fracciones parciales, donde profundizo mas sobre el tema y te presento una variedad de ejercicios.

4.- Método de sustitución trigonométrica

El método de sustitución trigonométrica, es un método basado en un cambio de variable, es decir, sustituimos cierto tipo de funciones algebraicas por funciones trigonométricas de fácil integración. Una vez resuelta la integral se debe regresar el cambio de variable, la cual va depender de la expresión algebraica original, para ello tendremos como referencia la distribución de variables en un triangulo rectángulo.

A continuación se te presenta las expresiones algebraicas que se pueden presentar para la aplicación del método, el cambio de variable respectivo y la distribución en el triangulo rectángulo para regresar el cambio de variable.

Al igual que el método anterior dedicamos una pagina para desarrollar mejor el método de sustitución trigonométrica.