Existen varios métodos para la resolución de integrales con una estructura compleja, entre los métodos se encuentra la integración por parte que desarrollaremos a continuación.
Contenido
Integración por partes
La integración por partes consiste en llamar «u» a una parte del integrando y «dv» a la otra parte que incluye al diferencial. La parte llamada «u» se deriva para obtener «du»; la parte llamada «dv» se integra para obtener «v», de esta forma sustituir las expresiones en la formula:
![\[u.v-\int vdu\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22e3c365d552cde208d023698e39f62b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Cuando se aplica la integración por parte
El método de integración por parte se aplica cuando:
1- Cuando en el integrando aparecen dos funciones distintas.
2.- Cuando aparece una inversa trigonométrica.
3.- Cuando aparece una función logarítmica.
4.- Por ultimo se aplica el método donde el integrando aparece la función secante o cosecante elevada a un exponente impar.
Como se aplica el ILATE
Unas de las inquietudes a la hora de aplicar el método de integración por partes, es seleccionar que parte es «u» y que parte será dv, para ello se sugiere la utilización de las iniciales ILATE, siendo esta un ordenamiento de la función prioritaria a ser «u», entendiéndose;
En un integral «u» sera la función inversa sino hay, seria la logarítmica, sino hay seria la algebraica y así sucesivamente.
Ejercicios de integración por parte
Resolver los siguientes integrales:
1.-
Solución
u=arcosen(x)
dv= dx
para obtener du derivamos u;
para obtener v integramos dv;
v= x
sustituimos en la formula;
![\[=arcosen(x).x-\int x\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1447bf4a3f98ebaf8593bfea7371a909_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=x.arcosen(x)-\int x({1-x^{2})^{\frac{-1}{2}}}dx\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cfa59d9d3d38836e5ef89ca7ec7ad7f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
el integral que nos queda por resolver aplicamos cambio de variable donde;
du=-2xdx pasamos al otro lado de la igualdad al -2;
sustituimos;
![\[=x.arcosen(x)-(\frac{1}{-2}\int (u)^{\frac{-1}{2}}}du)\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-833db6a2778d6873edb5c943e645490a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=x.arcosen(x)+\frac{1}{2}.2 (u)^{\frac{1}{2}}+C\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-58049d94443ff61b702c8efa07a68193_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
sustituimos u y simplificamos;
![\[=x.arcosen(x)+ (1-x^{2})^{\frac{1}{2}}+C\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21c252d9afef6cc28f6ed1935e0b7acd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2.- 
Solución
![\[=\int Sec (x).Sec^{2}(x)dx\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d87d9d3187b41d3da71e9c50a943f8b7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
u= Sec (x) du=Sec(x) Tag(x) dx
v=Tag(x)
![\[=Sec (x).Tag(x)-\int Tag(x)Sec(x) Tag(x) dx\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b77dc058df32a7592e73f3c98e1e7f2d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=Sec (x).Tag(x)-\int Tag^{2}(x)Sec(x) dx\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8b6794619957860ae62483bd1ecf380_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
como 
sustituimos;
![\[=Sec (x).Tag(x)-\int(Sec^{2}(x)-1) Sec(x) dx\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8dfc725f65d98c98168e38db57c09a8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=Sec (x).Tag(x)-\int Sec^{3}(x) dx-\int Sec(x) dx\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9e684583a646f2c4db7203e6ec4a4c0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
agrupamos términos semejantes;
![\[\int Sec^{3}(x) dx+\int Sec^{3}(x) dx=Sec (x).Tag(x)-\int Sec(x) dx\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09b0c84bb3c351c6dfba2fe47c6a6f5f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2\int Sec^{3}(x) dx=Sec (x).Tag(x)-\int Sec(x) dx\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e808e8c179bda920a45bebc3a22b6d82_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
despeamos e integramos;
![\[\int Sec^{3}(x) dx=\frac{Sec (x).Tag(x)-\int Sec(x) dx}{2}\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-372bafa5fb8f927dc210ad78be7c101a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\int Sec^{3}(x) dx=\frac{Sec (x).Tag(x)-Ln(Sec(x)+Tag(x))}{2}+C\]](https://calculointegralweb.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9fb961b3165a55db49cce6591914179e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")