Suma de Riemann

Otro método utilizado en el calculo de integrales definidas es la denominada suma de Riemann. Este debe su nombre al matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann, el cual publico por primera vez el método en el año de 1854.

Contenido

Para comprender que es la suma de Riemann, vamos a recordar primero que una integral definida en un intervalo [a,b] da el valor del área encerrada entre una función f(x) y el eje x en un intervalo [a,b], siempre que la función sea continua.

Ante lo expuesto cuando nos referimos a una suma de Riemann, estamos hablando de una aproximación del área bajo la curva de una función, para ello se divide en varias formas simples como por ejemplo rectángulos o trapecios como se observa en la figura siguiente:

Es decir, las Sumas de Riemann permite el calculo del valor de una integral definida en función al cálculo del área bajo una curva, es de recalcar que entre más rectángulos o trapecios tengamos. el calculo del área sera más preciso.

Por tanto si el número de subdivisiones tiende al infinito, el resultado de la suma converge a la integral definida de la función:

$\int_{a}^{b} f(x)dx=\displaystyle \lim_{x \to \infty }S(f,n)$

Concluyendo para el calculo de la suma de Riemann que:

$\sum_{j=1}^{n}f(x).\Delta x$

donde

$\Delta x=\frac{b-a}{n}$

siendo a y b el intervalo cerrado, $\Delta x$ el ancho del rectángulo y n el numero de subdivisiones

Consideraciones de la aplicación de la suma de Riemann

Cuando aplicamos este método es importante considerar o conocer que:

1.- Para la suma de Riemann a la izquierda, aproximamos el área con rectángulos de ancho igual preferiblemente, donde la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo izquierdo de su base.

2.- Su aplicación a la derecha, la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo derecho de su base.

3.- Cuando consideramos la suma en el de punto medio, la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el punto medio de su base.

4.- Al usar el trapecios para aproximar el área, nos encontramos que es llamado como regla del trapecio, donde cada trapecio toca la curva en sus dos vértices superiores, siendo también una suma de Riemann.

Ejemplo de suma de Riemann

1.- Hallar el área de la región limitada por las gráficas de f(x)=4x+2, x=2, x=4 y el eje de las x, mediante el calculo de la suma de Riemann.

Solución

Si graficamos tenemos;

donde el intervalo es [2,4] y n no esta definido, entonces

$\Delta x=\frac{b-a}{n}$

$\Delta x=\frac{4-2}{n}$

$\Delta x=\frac{2}{n}$

por tanto $\Delta x=\frac{2}{n}$ es el ancho de cada rectángulo o trapecio, entonces;

$x_{i}=a+i\Delta x$

sustituimos;

$x_{i}=2+i.\frac{2}{n}$

la n-enésima de la suma de Riemann indica que;

$\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}).\Delta x$

como tenemos la función f(x)=4x+2, la sustituimos también;

$=\sum_{i=1}^{n}[4(2+\frac{2i}{n})+2].\frac{2}{n}$

resolvemos las operaciones quedando;

$=\sum_{i=1}^{n}(10+\frac{8i}{n}).\frac{2}{n}$

$=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}10+\sum_{i=1}^{n}\frac{8i}{n}$

aplicamos las propiedades $\sum_{i=1}^{n}K=Kn$ y $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n.(n+1)}{2}$

$=\frac{2}{n}(10n+\frac{8}{n}.\frac{n(n+1)}{2})$

simplificamos;

$=28+\frac{8}{n}$

calculamos el límite;

$\displaystyle \lim_{x \to \infty }(28+\frac{8}{n})$

$=28+\frac{8}{\infty }$

$=28$

es decir que el área corresponde a 28 $u^{2}$

Si deseas evaluar, si el resultado de la suma de Riemann es correcto, resolvemos la integral;

$\int_{2}^{4}(4x+2)dx$

su resultado debe dar igual a 28.

2.- Si tenemos un función f(x) y delimitada el eje x desde x=2 hasta x=6 con cuatro divisiones de rectángulos iguales, considerando el extremo izquierdo. Aplicar la suma de Riemann.

Solución

Si tenemos una función como se encuentra representada en la gráfica;

donde el intervalo es [2,6] y n=4

$\Delta x=\frac{b-a}{n}$

$\Delta x=\frac{6-2}{4}$

$\Delta x=1$

quiere decir que el ancho de cada rectángulo es 1, por tanto para calcular el área de cada rectángulo, multiplicamos su ancho por su altura de cada uno;

como son cuatro rectangulo, consideramos la altura en función al extremo izquierdo,es decir para x=2 la altura es 3, para x=3 la altura es 7, para x=4 la altura es 6 y por ultimo para x=5 la altura es 4;

$Área=\Delta x.h$

siendo h la altura;

$Área=1.3+1.7+1.6+1.4$

$Área=20$