Teorema fundamental del calculo

Para comprender la resolución de integrales es necesario partir del análisis de los teoremas fundamentales del calculo que te presentamos a continuación.

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Existen dos teoremas fundamentales del calculo, los cuales son:

Primer teorema fundamental del calculo

El primer teorema fundamental del calculo establece que:

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea $F(x)=\int_{a}^{t}f(x)dx$ una integral indefinida de f, entonces F es derivable en [a,b] y F'(x)=f(x) para cada punto x en [a.b]».

Es de acotar que como f es una función continua e integrable en [a,b].

Como se puede observar, este teorema nos brinda una primera relación entre la integración y la diferenciación de funciones, permitiendo establecer que, una función derivada de una integral indefinida de una función continua, es la misma función, por tanto el proceso de derivación es un proceso inverso al de integración.

Algo particular de este teorema es que cuando se refiere a la función derivada llamada f, se refiere a la función o las funciones primitivas, recalcando que pueden ser varias primitivas dado que para una misma función f pueden existir varias funciones F, es por ello que utilizamos la constante de integración.

Segundo teorema fundamental del calculo

Este segundo teorema fundamenta del calculo establece que:

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea P una función primitiva de f en el intervalo [a.b], entonces se dice que $\int_{a}^{b}f(x)dx= P(b)- P(a)$ .

Si tenemos que:

$F(x)=\int_{a}^{t}f(x)dx$

donde es una primitiva de f en el intervalo [a,b], por consecuencia F-P es una función constante, es decir, si existe un número real K tal que F(x)-P(x)=K para todo X en el intervalo [a,b].

Si evaluamos con x=a sonsiderando que F(a)=0, se puede deducir que -P(a)=K, de esta manera;

$F(b)-P(t)=-P(a)$

En particular para t=b, se obtiene F(b)=P(b)-P(a), por tanto;

$F(b)=\int_{a}^{b}f(x)dx$

deduciendo la formula de Barrow;

$\int_{a}^{b} f(x) dx=P(b) - P(a)$

Este segundo teorema al igual que el anterior no solo establece la relación entre integración y diferenciación de funciones sino también define que la integral indefinida de una función derivable P de derivada continua, es la misma función P, salvo una constante dada por -P(a)».

Por ejemplo:

Si tenemos dos funciones f(x)= Sen(x) y g(x)=Cos (x) donde;

$f'(x)=g(x)$

$g'(x)=.f(x)$

se dice que f(x) es una primitiva de g(x) y – g(x) se convierte en una función primitiva de f(x) por tanto;

$\int_{a}^{b}Sen(x)dx= -Cos(b)+Cos(a)$

mientras que;

$\int_{a}^{b} Cos(x)dx= Sen(b) - Sen(a)$