El cálculo como rama de la matemática, se originó en la antigua Grecia con el objeto de estimar la magnitud de los cambios en las variables, determinar longitudes, áreas, volúmenes, entre otros. Esta área de la matemática fue evolucionando hasta convertirse en una disciplina moderna atribuyendo los nuevos aportes a los matemáticos Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes se les reconoce el teorema fundamental de cálculo, específicamente el cálculo infinitesimal dedica al estudio de los límites, las derivadas, series infinitas y las integrales, siendo llamada esta última como calculo integral.
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¿Qué es el cálculo integral?
El cálculo integral es una rama del cálculo que se centra en el estudio de las integrales y sus aplicaciones. Una integral es un concepto matemático que representa el área bajo una curva en un intervalo dado. El cálculo integral se utiliza para resolver problemas que involucran cantidades que varían de manera continua, como la velocidad de un objeto en movimiento, el área bajo una curva, el volumen de un sólido tridimensional, entre otros.
El cálculo integral se basa en el concepto de límite y en la suma de infinitos elementos infinitesimales. Se utiliza para encontrar áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centros de masa, momentos de inercia, entre otros. Además, tiene aplicaciones en diversas áreas como la física, la ingeniería, la economía y la biología, entre otras.
Elementos de una integral:
Símbolo de la integral
La integral se denota comúnmente con el símbolo ∫, que proviene del latín «sumatoria». La notación completa incluye la función a integrar, los límites de integración y el elemento diferencial, por ejemplo:
Función a integrar
La función que se está integrando es el elemento central de la integral. Puede ser una función continua o discontinua en el intervalo de integración.
Elemento diferencial
Este es el diferencial de la variable de integración. En una integral definida, se multiplica la función por este elemento diferencial. Comúnmente se denota como dx en una integral con respecto a x, dy en una integral con respecto a y, etc.
Estos son los elementos que conforman una integral indefinida, adicionalmente, una integral indefinida que será un tema más avanzado del cálculo integral, también incluyen los límites de integración:
Primitiva o antiderivada de una función:
Al resolver una integral obtendremos la función primitiva, también llamada antiderivada, es decir, que dada una función f(x) se debe encontrar su primitiva F(x) cuya derivada sea igual a f(x);
F’(x)=f(x)
donde el resultado en “x” es F (x) +c, siendo c una constante de integración.
Es de acotar que existen algunas funciones f(x) que satisfacen esta relación, por esta razón se dice que la integral es indefinida, pero si se registran ciertas condiciones para F’(x) donde convierta a la función en única la integral se considera como integral definida, interpretándose de forma geométrica a dicha integral como el área comprendida entre el eje X, la gráfica de la función o curva y las ordenadas delimitada por dos valores de X (b,a) denominados límite superior y límite inferior respectivamente.
Desarrollo del cálculo integral
Cuando hablamos de la historia del calculo integran debemos remontarnos a la época de Arquímedes aproximadamente entre 287 y 212 a.C., este matemático obtuvo los primeros resultados del valor del área encerrada por un segmento parabólico.
Pero no es veinte siglos después donde para resolver otros problemas asociados a estudios no concluidos, es que aparecen las derivas asociado a la definición del cálculo infinitesimal creado por Barrow, Newton y Leibniz, dando pie posteriormente a las integrales.
La historia de la matemática reconoce a Isaac Newton y Gottfried Leibniz como los creadores del cálculo integral.
Formulario de integrales
El formulario de integrales nos presenta un lista de integrales con sus respectivos resultados, algunos de ellos son integrales inmediatos, es decir, integrales que no requieren aplicar ningún método de integración porque son muy sencillas. Este formulario facilita la resolución de ejercicios donde las funciones presentan una estructura compleja.
A continuación se presentan algunas de las formulas mas utilizadas:
Dentro de esta formula se encuentran también integrales como:
Teoremas fundamentales en el estudio del calculo integral
Existen dos teoremas fundamentales que debemos conocer y comprender dentro del estudio del calculo integral como son:
Teorema fundamental del cálculo: Consiste intuitivamente en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.
Teorema del valor medio: Establece que si una función es continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b), entonces existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que f'(c) es igual a la razón de cambio promedio de la función en [a,b].
Métodos para la resolución de integrales
Existen varios métodos que estudiaremos a profundidad mas adelante para la resolución de integrales como lo son:
- Integración por partes.
- Cambio de variable.
- Desarrollo en fracciones parciales.
- Integración mediante el uso de identidades trigonométricas.
- Sustitución trigonométrica.
Tipos de integrales
Ya hemos hablados de integrales definidas e indefinidas, pero existen otras a estudiar como:
- Integrales impropias: Son integrales que presentan una asíntota vertical en el intervalo de integración, o cuyo intervalo de integración no se encuentra limitado.
- Integrales de linea: Son aquellas cuya función es evaluada sobre una curva.
- Integrales trigonométricas: Aquella cuyo integrado se compone de funciones trigonométricas y constantes entre la que se encuentran la integral del seno, integral del coseno, integral de la tangente e integral de la secante.
- Integrales múltiples: Se encuentran los integrales dobles y los integrales triples.
- Integral logarítmica e integral exponencial.
- Integral iterada: Es una integral evaluada varias veces sobre la misma variable.
Aplicaciones de los integrales
Los integrales son muy útiles en diversos cálculos o aplicaciones, entre los que podemos nombrar se encuentran:
- Obtener el área de regiones planas.
- Calcular el volumen de un sólidos de revolución.
- Calcular el volumen de sólidos con secciones conocidas.
- Determinar la longitud de una curva.
- Conocer el valor promedio de una función.
- Examinar el comportamiento aleatorio de variables continuas (función de densidad probabilidad).
Suma de Riemann
Una suma de Riemann es una aproximación del área bajo la curva, al dividirla en varias formas simples tales como rectángulos o trapecios, permitiendo usarla para encontrar una aproximación numérica en una integral definida.